最短距离Dijkstra算法

  Dijkstra算法是搜索树，图时候用到的搜索算法，带权图的最短路径问题即求两个顶点间长度最短的路径。，其中：路径长度不是指路径上边数的总和，而是指路径上各边的权值总和。路径长度的的具体含义取决于边上权值所代表的意义。例如在实际中求两个站点之间的最短距离，其中有多条通路，因为交通工具，例如地铁等，所以每个通路之间都有权重。
  其中最出名的是Dijkstra算法，其主要的思路是这样的，我先贴一张图片：，若按长度递增的次序生成从源点s到其它顶点的最短路径，则当前正在生成的最短路径上除终点以外，其余顶点的最短路径均已生成（将源点的最短路径看作是已生成的源点到其自身的长度为0的路径）。



（2）算法基本思想
    　设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。
①初始化
    　初始化时，只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0)，故红点集S={s}，蓝点集为空。
②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径
    　在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证算法按路径长度递增的次序产生各顶点的最短路径。
    　当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。
  注意：
    　①若从源点到蓝点的路径不存在，则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。
    　②从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，并记为SD(v)。

（3）在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集
    　根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是：
    　源点，红点1，红点2，…，红点n，蓝点k
 距离为：源点到红点n最短距离+<红点n,蓝点k>边长
    　为求解方便，设置一个向量D[0．．n-1]，对于每个蓝点v∈ V-S，用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点(若有中间点，则必为红点)的"最短"路径长度（简称估计距离）。
    　若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若D[k]=min{D[i] i∈V-S}，则D[k]=SD(k)。
    　初始时，每个蓝点v的D[c]值应为权w<s，v>，且从s到v的路径上没有中间点，因为该路径仅含一条边<s，v>。
  注意：
    　在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键 

（4）k扩充红点集s后，蓝点集估计距离的修改
    　将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。
    　对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使D[j]变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：P=<s，…，k，j>。且D[j]减小的新路径P只可能是由于路径<s，…，k>和边<k，j>组成。
    　所以，当length(P)=D[k]+w<k，j>小于D[j]时，应该用P的长度来修改D[j]的值。

（5）Dijkstra算法

 Dijkstra(G，D，s){
    //用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
    //以下是初始化操作
      S={s}；D[s]=0； //设置初始的红点集及最短距离
      for( all i∈ V-S )do //对蓝点集中每个顶点i
          D[i]=G[s][i]； //设置i初始的估计距离为w<s，i>
       //以下是扩充红点集
      for(i=0;i<n-1;i++)do{//最多扩充n-1个蓝点到红点集
           D[k]=min{D[i]：all i V-S}； //在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k
           if(D[k]等于∞)
                return； //蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时，
                     //表示这些顶点的最短路径不存在。
           S=S∪{k}； //将蓝点k涂红后扩充到红点集
           for( all j∈V-S )do //调整剩余蓝点的估计距离
               if(D[j]>D[k]+G[k][j])
                //新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，
              //使j离s更近。
                   D[j]=D[k]+G[k][j]；
          }
   }

参考文献：http://student.zjzk.cn/course_ware/data_structure/web/tu/tu7.5.2.htm